Distribusi Peluang Kontinu

 Konsep Distribusi Peluang Kontinu

• Peubah acak kontinu mempunyai peluang nol

pada semua titik x. Karena itu tidak dapat

disajikan dalam bentuk tabel. Tetapi dengan

sebuah rumus.

• Distribusi peluang X dinyatakan dengan fungsi

f(x) yang disebut fungsi padat.

Definisi 6

• Fungsi f((x) adalah fungsi padat peubah acak

kontinu X, yang didefnisikan di atas himpunan

semua bilangan real R, bila

• 1) 8f(x) = 0 untuk semua x . R.

•2) . f (x)dx = 1 - 8 b

• 3) P(a< X <b ) = f (x)dx.a

Contoh

• Misalkan peubah acak X

mempunyai fungsi

padat peluang 2xf (x) = -1 < x < 23 = 0 untuk x lainnya

(a) Tunjukkan bahwa syarat 2 definisi 6 dipenuhi.

(b) Hitung P( 0 < x < = 1 )

Definisi 7

• Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak

kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan

oleh : b F(x) = P( X = x ) = f (t )dt a

• Contoh : Carilah F(x) dari fungsi pada pada

contoh sebelumnya dan kemudian hitunglah

P(0 < x = 1).

Harapan Matematik

• Nilai harapan atau harapan matematik ini

dinyatakan dengan E(X). Rataan atau harga

harapan suatu peubah acak dapat diperoleh

dengan mengkalikan tiap nilai peubah acak

tersebut dengan peluang padanannya dan

kemudian menjumlahkan hasilnya. Bila

peubahnya kontinu, definisi harapan matematik

pada dasarnya sama, yaitu menggantikan

penjumlahan dengan integral.

Arti nilai harapan

• Bila

2 logam dilantunkan 16 kali. X

menyatakan banyaknya muncul muka

perlantunan maka nilai x adalah 0,1atau 2.

Misalkan pada percobaan 16 kali pelemparan

uang logam diperoleh tidak ada muka, satu

muka, dan dua muka masing-masing 4, 7 dan 5

kali. Maka rataan muncul muka per 2 uang

logam tersebut juga nilai harapan adalah :

{ 0(4) + 1(7) + 2(5)}/16 = 1,06

Definisi 8

• Misalkan

X suatu peubah acak dengan distribusi

peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematik

Xialah : E(X ) =. xf (x) bila X diskret  x  8 bila X kontinu = xf (x)dx. -8

• Contoh : Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan

dalam panitia 3 orang yang terpilih secara acak dari 4

kimiawan dan 3 biologi.

• Contoh :

Dalam suatu permainan seseorang mendapat

Rp. 5 bila muncul semua muka atau semua

belakang jika tiga logam dilantunkan, dan

membayar Rp. 3 bila muncul muka atau 2.

Berapakah harapan kemenangannya ?

• Contoh :

Misalkan X peubah acak yang menyatakan

umur dalam jam sejenis bola lampu. Fungsi

padat peluang diberikan oleh :

20.000

f (x) = x3 x > 100 = 0 untuk x lainnya

• Hitunglah harapan umur jenis bola lampu tadi.

Teorema 1

• Misalkanlah

X suatu peubah acak dengan

distribusi peluang f(x). Nilai harapan fungsi

g(X) adalah :

E[g(x)] =. g(x) f (x) bila X diskret x 8 = . g(x) f (x)dx bila X kontinu -8

• Contoh : Misalkanlah X suatu peubah acak

dengan distribusi peluang sbb: X 0123 f(x) 2/3 ½ 0 1/6

• Hitunglah harga harapan y = ( x – 1) 2.

• Contoh

: Misalkanlah X suatu peubah acak

dengan fungsi padat : 2x

• f (x) = -1 < x < 2 3

• = 0 untuk x lainnya

• Hitunglah nilai harapan g(X) = 2 x – 1.

Variansi

• Ada

3 teorema untuk menghitung variansi

ataupun simpangan baku. Bila dimisalkan g(X)

sebagai fungsi peubah acak X, maka rataan dan

varinsi g(X) dinyatakan dengan masing-masing

µg ( x) dan s g2( x). 

Teorema 2

• Misalkanlah X peubah acak dengan distribusi

peluang f(x). Maka variansi g(X) adalah 22 = E[{g(X ) -µ }]s g ( X ) g ( X )

Teorema 3

• Bila X suatu peubah acak a dan b suatu tetapan

maka sss 222 == - XbX

Teorema 4

• Bila X suatu peubah acak dan a adalah tetapan,

maka ss ss 22222 aXaX ==